Blog

Team Bollebus wenst alle lezers van onze blog een vrolijk kerstfeest! We grijpen de gelegenheid graag aan om in te zoomen op een boeiend wiskundeweetje, dat op verrassende wijze meetkunde en getaltheorie weet te verweven.

Pythagorische drietallen

Dankzij onze Pythagoraskalender ken je binnen een jaar meer dan 50 bewijzen voor de stelling van Pythagoras, maar daarmee is het laatste woord nog niet gezegd. Er zijn tal van natuurlijke vervolgvragen te bedenken! Volgens de stelling van Pythagoras voldoen de drie zijdelengtes a, b, c van een rechthoekige driehoek (geordend van klein naar groot) aan de identiteit a² + b² = c². Je kan je nu bijvoorbeeld afvragen wanneer die getallen alle drie gehele getallen kunnen zijn. Het beroemdste voorbeeld is de driehoek met rechthoekszijden van lengtes 3 en 4 en schuine zijde van lengte 5; deze voldoen aan 3² + 4² = 5² en vormen inderdaad een rechthoekige driehoek. Zo’n drietal van gehele getallen (a, b, c) waarvoor geldt dat a² + b² = c² noemen we een Pythagorisch drietal.

Misschien ken je naast (3, 4, 5) nog een ander voorbeeld, (5, 12, 13), of een flauwe variant van de eerste, (6, 8, 10). Er zijn archeologische artefacten gevonden (1) die aantonen dat de oude Babyloniërs onder andere de drietallen (5, 12, 13) en (8, 15, 17) kenden en gebruikten als praktische manier om rechte hoeken uit te zetten (2), een millennium vóór Pythagoras leefde! Anderhalve eeuw na Pythagoras gaf Euclides, bekend van zijn Elementen, een formule die uit enkele vrij te kiezen parameters een Pythagorisch drietal tovert. Hij toonde zo aan dat er oneindig veel zo’n drietallen bestaan — ook als je de flauwe varianten negeert die je verkrijgt door een gekend drietal te herschalen.

Pythagorische drietallen blijven tot de verbeelding spreken. Welke getallen zijn de lengte van de schuine zijde van zo’n rechthoekige driehoek? Om herschalingen en daaruit volgende flauwe gevallen zeker uit te sluiten, kunnen we ons in eerste instantie beperken tot priemgetallen. De voorbeelden (3, 4, 5) en (5, 12, 13) illustreren dat 5 en 13 werken: het kwadraat van elk van die getallen valt te schrijven als een som van twee kleinere kwadraten. Ook 17 werkt, want 8² + 15² = 17². Aan de andere kant blijkt na wat proberen dat 7 en 11 niet werken. Wat is het patroon?

De kerstmisstelling van Fermat

Het antwoord schuilt in een brief die amateurwiskundige Pierre de Fermat stuurde naar Marin Mersenne. De brief in kwestie is gedateerd dinsdag 25 december 1640 en daarom wordt het resultaat wel eens de kerstmisstelling genoemd! Fermat schreef het volgende.

Sur le sujet des triangles rectangles, voici mes fondements:

1. Tout nombre premier, qui surpasse de l’unité un multiple du quaternaire, est une seule fois la somme de deux quarrés, et une seule fois l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

2. Le même nombre et son quarré sont chacun une fois la somme de deux quarrés, son cube et son quarréquarré sont chacun deux fois la somme de deux quarrés, son quarrécube et son cubecube sont chacun trois fois la somme de deux quarrés, etc. à l’infini.

3. Ce même nombre étant une fois l’hypoténuse d’un triangle rectangle, son quarré l’est deux fois, son cube trois, son quarréquarré quatre, etc. à l’infini.

Brief van Pierre de Fermat naar Marin Mersenne, 25 december 1640

We gieten het even in een stelling.

Stelling (kerstmisstelling). Zij p een priemgetal van de vorm 4k + 1 (één meer dan een veelvoud van vier). Dan zijn p en p² elk op juist één manier de som van twee kwadraten, p³ en p⁴ elk op juist twee manieren, p⁵ en p⁶ elk op juist drie manieren, enzoverder. Daarnaast treedt p in juist één Pythagorisch drietal op als grootste getal, p² in juist twee, p³ in juist drie, enzoverder.

Voor p = 5 bijvoorbeeld is p = 1² + 2² en p² = 3² + 4², en die laatste geeft het Pythagorisch drietal (3, 4, 5). Daarna zijn p³ = 5² + 10² = 2² + 11² en p⁴ = 7² + 24² = 15² + 20², en die laatste geven de Pythagorische drietallen (7, 24, 25) en (15, 20, 25).

Zoals bij Fermat wel vaker de gewoonte was, heeft hij zijn claim nooit bewezen. Het eerste (moeizame) bewijs werd gepubliceerd door Leonhard Euler zo’n 100 jaar later. Bovendien maakte Albert Girard in 1625 eigenlijk al een gelijkaardige observatie, al gaf Fermat wel preciezere informatie over het aantal dergelijke schrijfwijzen.

Een meetkundig bewijs

Het moeilijkste gedeelte van de kerstmisstelling is aantonen dat een priemgetal p van de vorm 4k + 1 inderdaad altijd te schrijven valt als een som van twee kwadraten. Dat dat niet op meerdere manieren kan, en hoeveel mogelijkheden er dan zijn voor de machten van p, dat laten ook wij over als oefening voor de gemotiveerde lezer.

Voor die claim gaf Don Zagier een beroemd bewijs (3) dat uit slechts één zin bestaat. Dat betekent zeker niet dat het een eenvoudig bewijs is — er zijn een aantal zaken onder de mat geveegd en je hebt als lezer best wat werk om alles te verifiëren. Toch is het bewijs zo bijzonder dat we er hier wel even aandacht aan besteden.

Voor een priemgetal p = 4k + 1 stellen we alle mogelijke drietallen (x, y, z) op van positieve gehele getallen waarvoor p = x² + 4yz. Dit komt uit de lucht vallen, maar we kunnen zo’n drietal meetkundig voorstellen: stel je voor dat je een figuur met oppervlakte p wil opstellen, bestaande uit één vierkant met zijdelengte x en vier rechthoeken met zijdelengtes y en z in een molentje errond. Hieronder geven we een paar mogelijkheden voor p = 41; van links naar rechts (1, 5, 2), (5, 2, 2), (5, 4, 1) en (3, 4, 2).

Wat leert die meetkundige voorstelling ons? De figuren hierboven zijn niet toevallig gekozen, maar komen in twee duidelijke “paren” voor met een gemeenschappelijke globale vorm. Dat is een algemeen fenomeen: uit de resulterende vormen kun je altijd op twee verschillende manieren de originele vierkanten en rechthoeken reconstrueren … behalve in één speciaal geval! Voor p = 4k + 1 is er één extra configuratie, corresponderend met het drietal (1, 1, k), en die heeft geen zo’n verwante configuratie.

We concluderen dat het totale aantal manieren om p = x² + 4yz te schrijven, oneven moet zijn — een aantal manieren in paren plus ééntje extra.

Merk nu op dat als (x, y, z) een van de gezochte drietallen is, dan ook (x, z, y). Of meetkundig uitgedrukt, we kunnen uit elke configuratie een nieuwe halen door de rechthoeken elk een kwartslag te draaien. Voor een drietal met y = z geeft dat niets nieuws, maar alle andere drietallen kunnen we dus wel opnieuw op een natuurlijke manier groeperen in paren. Maar we weten nu al dat het totale aantal oneven is … dus moet er ook hier zeker eentje bestaan die niet in een paar van verwante drietallen terechtkomt. Met andere woorden, er moet zeker een drietal (x, y, z) bestaan mét y = z. En met dat magische drietal vinden we dan dat p = x² + 4yz = x² + (2y)² — een som van twee kwadraten!

Voor 41 bijvoorbeeld was dat bewuste drietal (5, 2, 2), zodat 41 = 5² + 4².

We eindigen met een observatie voor de andere priemgetallen. Behalve 2 zijn alle priemgetallen uiteraard oneven en dus ofwel van de vorm 4k + 1, ofwel van de vorm 4k + 3. Over het priemgetal 2 = 1² + 1² zijn we snel uitgepraat. Zoals uitgebreid besproken kunnen we de priemgetallen 4k + 1 altijd op juist één manier schrijven als een som van twee kwadraten. Echter, voor de priemgetallen 4k + 3 is de situatie anders — die blijken nooit een som van twee kwadraten. Waarom niet? Het kwadraat van een even getal is van de vorm (2m)² = 4m², een veelvoud van vier. En het kwadraat van een oneven getal is van de vorm (2m + 1)² = 4m² + 4m + 1, één meer dan een veelvoud van vier. Om tot een getal te sommeren dat drie meer is dan een veelvoud van vier, zijn er dus minstens drie kwadraten nodig.

1. Daniel Mansfield, Plimpton 322: A Study of Rectangles. Foundations of Science, vol. 26, no. 4, p. 977–1005, 2021. (↩)
2. UNSW Sydney, Australian mathematician reveals world’s oldest example of applied geometry. (↩)
3. Don Zagier, A One-Sentence Proof That Every Prime p ≡ 1 (mod 4) Is a Sum of Two Squares. The American Mathematical Monthly, vol. 97, no. 2, p. 144, 1990. (↩)