Blog

Valentijn is het ideale moment voor een tof getaltheoretisch weetje! De volgelingen van Pythagoras kenden aan heel wat meetkundige figuren of getallen mystieke eigenschappen toe. Zo waren bepaalde getalparen het ultieme symbool voor hechte vriendschap … maar los van transcendente interpretaties zijn de getallen in kwestie ook wiskundig bijzonder interessant.

Beschouw even het volgende procedé. Kies een natuurlijk getal n en bereken al z’n delers. Het getal n zelf is uiteraard ook een deler; laat die ene saaie achterwege, en tel de andere delers (de echte delers) allemaal op. Het resultaat noemen we de aliquotsom van n en noteren we met s(n). Bijvoorbeeld voor n = 42 zijn de delers {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}. De aliquotsom van 42 is dan ook gelijk aan s(42) = 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 14 + 21 = 54. Geen al te ingewikkelde constructie, maar zoals we zullen zien, zijn er nog tal van onschuldig lijkende vragen over deze aliquotsommen onopgelost.

Bevriende getallen

Twee getallen heten bevriend als ze gelijk zijn aan elkaars aliquotsom. Het kleinste voorbeeld zijn de getallen 220 en 284: met de echte delers van 220 vinden we inderdaad dat s(220) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284, terwijl met de echte delers van 284 blijkt dat s(284) = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220. Innig met elkaar verbonden dus! Het zijn precies deze twee getallen die voor de pythagoreeërs symbool stonden voor ultieme vriendschap.

Er bestaan heel wat meer voorbeelden. In de 18e eeuw, ten tijde van Leonhard Euler, waren er drie paren bevriende getallen gekend: (220, 284), (17296, 18416) en (9363584, 9437056), gevonden met een formule van de Arabische wiskundige Thābit ibn Qurra uit de 9e eeuw. Euler vond een verfijning van die formule waarmee hij zelf maar liefst 58 nieuwe paren ontdekte! De methode van Euler gaat als volgt. Kies twee natuurlijke getallen m en n en bereken de drie getallen

• p = (2^m − n + 1) · 2ⁿ − 1,
• q = (2^m − n + 1) · 2^m − 1,
• r = (2^m − n + 1)² · 2^m + n − 1.

Als deze drie getallen tegelijkertijd priemgetallen zijn, dan is (2^m · p · q, 2^m · r) een paar bevriende getallen. Voor m = 2 en n = 1 bijvoorbeeld is p = 5, q = 11 en r = 71, drie priemgetallen, en de overeenkomstige bevriende getallen zijn juist 220 en 284.

Ondanks al zijn vorderingen had Euler, net als de vele generaties wiskundigen voor hem, het tweede kleinste paar bevriende getallen (1184, 1210) over het hoofd gezien! Het was de 16-jarige Nicolò Paganini die in 1867 dit hiaat opmerkte. Vandaag zijn er met behulp van computerzoektochten al miljarden exemplaren gekend.

De kleinste respectievelijk grootste termen van de paren bevriende getallen zijn terug te vinden in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (1) (2) als rijen A002025 en A002046.

Nog een ander voorbeeld is het paar (12285, 14595), dat illustreert dat ook oneven getallen bevriend kunnen zijn. Maar in alle gekende voorbeelden zijn ofwel beide getallen even, ofwel beide getallen oneven. Daarnaast hebben ze steeds ook een factor gemeenschappelijk. Kan een even getal ook bevriend zijn met een oneven getal? Kunnen twee bevriende getallen onderling ondeelbaar zijn? En bestaan er oneindig veel paren bevriende getallen? Dat zijn drie vragen waar we vandaag nog steeds het antwoord niet op weten!

Voor wie liever wat meer vrienden heeft, zijn er ook bevriende drietallen: drie getallen (a, b, c) waarvoor s(a) = b + c, terwijl s(b) = a + c, en tot slot s(c) = a + b. Een concreet voorbeeld is het drietal (1980, 2016, 2556). En volledig gelijkaardig is (3270960, 3361680, 3461040, 3834000) een bevriend viertal.

Verloofde getallen

Er bestaan ook quasibevriende getallen, ook wel verloofde getallen genoemd. Opnieuw gaat het dan om twee getallen, maar nu moet de aliquotsom van het ene getal juist ééntje meer bedragen dan het andere getal en vice versa. Een voorbeeld is (48, 75): er geldt dat s(48) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 + 16 + 24 = 76, eentje meer dan 75, terwijl s(75) = 1 + 3 + 5 + 15 + 25 = 49, eentje meer dan 48. De volgende zijn (140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648), (2024, 2295), …

De kleinste respectievelijk grootste termen van de paren verloofde getallen zijn terug te vinden in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (3) (4) als rijen A003502 en A003503.

Alle gekende voorbeelden bestaan uit een oneven en een even getal. Opnieuw een onopgelost probleem: kunnen twee verloofde getallen dezelfde pariteit hebben? Als er al zo’n voorbeeld bestaat, dan moeten de getallen alleszins al groter zijn dan 10¹⁰.

Perfecte getallen

Als je even de aliquotsom van enkele kleine getallen hebt berekend, dan zou je moeten zijn opgevallen dat n = 6 een speciaal getal is. De delers zijn {1, 2, 3, 6} en de aliquotsom is dan ook gelijk aan 1 + 2 + 3 = 6 — precies hetzelfde getal als waarmee we begonnen zijn. Je zou kunnen zeggen dat het getal 6 bevriend is met zichzelf! Zo’n ijdeltuit, die gelijk is aan zijn eigen aliquotsom, wordt een perfect getal genoemd. Er zijn er nog: de delers van 28 zijn {1, 2, 4, 7, 14, 28} en 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. De volgende twee voorbeelden zijn 496 en 8128, en de lijst gekende voorbeelden is terug te vinden in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (5) onder A000396.

Wat opvalt aan deze voorbeelden is dat het allemaal om even getallen gaat. Bestaan er ook oneven perfecte getallen? Drie keer raden … dat is tot op vandaag een (beroemd) openstaand probleem. Perfecte getallen staan wat meer in de spotlight dan bevriende getallen en daarom is er ook al meer naar gezocht (6): als een oneven perfect getal zou bestaan, dan moet die al groter zijn dan 10¹⁵⁰⁰ en minstens 101 priemfactoren hebben, waaronder 10 verschillende en ene groter dan 10⁸. En zo zijn er nog heel wat meer restricties geweten. De consensus is dat er waarschijnlijk geen bestaan, maar een bewijs blijft een elusieve kwestie.

The existence of an odd perfect number — its escape, so to say, from the complex web of conditions which hem it in on all sides — would be little short of a miracle.

James Joseph Sylvester

De Franse filosoof en wiskundige René Descartes had bijna zo’n oneven perfect getal gevonden! Hij observeerde dat het getal 198.585.576.189 gefactoriseerd kan worden als 3² · 7² · 11² · 13² · 22021. Daaruit kon Descartes alle delers opstellen en optellen en bleek de uitkomst opnieuw 198.585.576.189 te zijn. Helaas is 22021 geen priemgetal, maar ontbindt die verder als 19² · 61 en is de ware aliquotsom dus nog een stukje groter (227.441.894.589 om precies te zijn). Gefopt of niet, Descartes zei over perfecte getallen:

Les nombres parfaits comme les hommes parfaits sont très rares.

René Descartes

Over de even perfecte getallen is nog wat meer geweten. Euclides vond een formule om even perfecte getallen te genereren: gegeven een getal p waarvoor 2^p – 1 een priemgetal is (een zogenaamd Mersennepriemgetal), dan is 2^{p − 1} · (2^p – 1) een perfect getal. Omgekeerd bewees Euler zo’n twee millennia later dat ieder even perfect getal via deze formule kan worden gevonden. Met andere woorden, met elk Mersennepriemgetal komt een even perfect getal overeen en vice versa. Het getal 6 vind je uit het Mersennepriemgetal 3 (met p = 2), en het getal 28 uit het Mersennepriemgetal 7 (met p = 3). Omdat het nog niet geweten is of er oneindig veel Mersennepriemgetallen bestaan of niet, is het dus een zoveelste open probleem hoeveel even perfecte getallen er zijn.

Het narcisme nog wat verder opdrijvend, zou een getal volledig analoog ook verloofd (of quasibevriend) kunnen zijn met zichzelf. We kunnen zo’n getal dan ook quasiperfect noemen. Expliciet is dat een getal waarvoor de aliquotsom juist ééntje meer is dan het getal zelf. Als je even op zoek gaat, zelfs met behulp van de computer, dan zul je niet meteen een voorbeeld vinden. Bestaan er überhaupt zo’n quasiperfecte getallen? Dat is tot op vandaag … een openstaand probleem!

1. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A002025. (↩)
2. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A002046. (↩)
3. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A003502. (↩)
4. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A003503. (↩)
5. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, A000396. (↩)
6. Steven Gimbel, John Jaroma, Sylvester: ushering in the modern era of research on odd perfect numbers. INTEGERS: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, vol. 3, A16, 2003. (↩)