De datum van vandaag is best bijzonder: als je de cijfers in 22/02/2022 achterstevoren leest, verkrijg je precies hetzelfde. Een palindroomdag dus! Vorig jaar hadden we er ook ene, op 12/02/2021, en we moeten acht jaar geduld hebben voor de volgende, 03/02/2030. Extra bijzonder vandaag is dat de datum enkel en alleen uit de cijfers 0 en 2 bestaat! Voor wie daar nog niet vrolijk van wordt, geven we in deze korte blogpost een weetje over vrolijke getallen en een grappige toevalligheid met het cijfer 2.
Kies een willekeurig startgetal. Bereken de kwadraten van de afzonderlijke cijfers en tel die op. Pas hetzelfde procédé opnieuw toe op het resultaat, en opnieuw, en opnieuw … We kijken even wat er gebeurt met twee voorbeelden.
- Het getal 42 wordt na één stap 4² + 2² = 20. In de volgende stap berekenen we dan 2² + 0² = 4. Nogmaals, en we vinden 4² = 16, daarna 1² + 6² = 37, daarna 3² + 7² = 58, daarna 5² + 8² = 89, daarna 8² + 9² = 145, en daarna 1² + 4² + 5² = 42 — precies het getal waarmee we begonnen zijn.
- Voor het getal 7 vinden we 7² = 49, daarna 4² + 9² = 97, daarna 9² + 7² = 130, daarna 1² + 3² + 0² = 10, en tot slot landen we op 1² + 0² = 1 — een resultaat dat niet verder verandert, want 1² blijft gewoon 1.
Er zijn twee mogelijkheden: ofwel vinden we onderweg een getal dat we eerder al zijn tegengekomen, ofwel landen we op het getal 1. In dat tweede geval wordt het startgetal vrolijk genoemd (of in het Engels: een happy number). Zo is 7 dus een voorbeeld van een vrolijk getal. De eerste twintig vrolijke getallen zijn 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100 — rij A007770 in de On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (1).
Het al dan niet vrolijk zijn van een getal hangt af van de basis waarin het getal wordt uitgedrukt. In binaire schrijfwijze bijvoorbeeld landt elk getal uiteindelijk op 1. Met andere woorden, grondtal 2 maakt iedereen vrolijk!
En alsof dat nog niet genoeg is: het 20ste vrolijke getal is juist 100 = 102 en de som van de eerste 20 vrolijke getallen is 1024 = 210.
