Team Bollebus wenst al onze volgers een voorspoedig nieuwjaar! Laat ons het jaar inzetten met enkele weetjes over het getal 2023.
Rekenen met 2023
Ook al zijn er misschien geen in het oog springende priemfactoren, 2023 is alvast geen priemgetal, want 2023 = 7 · 17 · 17. Nu is 7 juist gelijk aan de som van de cijfers van 2023 en bovendien 17 aan de som van de kwadraten ervan, dus dat leidt tot een charmante schrijfwijze
\[\color{#d50}{\text{2023}} = \bigl(\color{#d50}{\text 2} + \color{#d50}{\text 0} + \color{#d50}{\text 2} + \color{#d50}{\text 3}\bigr) \cdot \bigl(\color{#d50}{\text 2}^2 + \color{#d50}{\text 0}^2 + \color{#d50}{\text 2}^2 + \color{#d50}{\text 3}^2\bigr)^2.\]
In woorden, 2023 is gelijk aan de som van z’n cijfers, vermenigvuldigd met het kwadraat van de som van de kwadraten van z’n cijfers. Bovendien is 2023 het eerste getal dat daaraan voldoet, als we de saaie 1 even negeren, en zijn er maar vijf andere getallen met die eigenschap.
Darten met 2023
Vervolgens een dartsweetje, nu de sport darts zo hip is. Herinner je de scoreverdeling op een standaard dartbord. Er zijn twintig sectoren die nogal kriskras verdeeld een score van 1 tot en met 20 kunnen opleveren. In enkele ringen worden die scores verdubbeld of zelfs verdrievoudigd. En natuurlijk zijn er in het midden de bull en de bull’s eye, die 25 respectievelijk 50 punten waard zijn. Was het je al opgevallen dat je dus niet de meeste punten scoort door in de bull’s eye te gooien, maar wel een beetje hogerop?
Er zijn heel wat uitkomsten die je met een enkel pijltje kan scoren, en soms zelfs op meerdere keren (zoals 18 bijvoorbeeld). Het kleinste getal dat je niet in één keer kan scoren, is 23. Mits goed mikken geraak je met twee pijltjes gooien al een pak hoger: je kan controleren dat elke score tot en met 102 lukt, maar de laagste score onhaalbaar met twee pijltjes 103 is. Zie je waar je moet gooien om op 101 en 102 uit te komen?
Met een derde pijltje kan je hoogstens nog eens 60 punten extra binnenhalen en kun je dus alle scores bereiken tot en met 162, maar niet 163. En zo zet het patroon zich verder bij meer pijltjes: 23, 103, 163, 223, 283, 343, 403, … zijn de laagste scores waarvoor je een pijltje meer nodig hebt. Als je even doorrekent, dan verschijnt op dat lijstje uiteindelijk ook … 2023, als de minimumscore die je met 38 pijltjes kan binnenrijven maar niet met 37.
Puzzelen met 2023
Bekijk tot slot even deze puzzel. Als je een eindeloze voorraad puzzelstukjes ter beschikking hebt in de twee vormen hieronder (monomino’s van één vakje en L-tromino’s van drie vakjes), kun je die dan samenleggen tot een vierkant van 4 bij 4 vakjes groot? Toegegeven, een echt uitdagende puzzel is dit hoegenaamd niet: met de kleine enkele vierkantjes hoef je je geen zorgen te maken om gaten over te laten.
Het is desondanks interessant om na te gaan hoeveel oplossingen er juist zijn.
- Je kan de L-vormige stukjes volledig negeren en gewoon zestien losse vierkantjes samenleggen.
- Met niets anders dan L-vormen lukt het niet, want die bedekken elk drie vakjes en je hebt dan ook zeker één klein puzzelstukje nodig. Opmerkelijk is wel dat je dat ene kleine vierkantje gelijk waar op het rooster kan leggen, en er dan telkens precies één manier is om de rest op te vullen met alleen L-stukjes! Er zijn dus precies 16 oplossingen met vijf tromino’s.
- Met precies één L-vormig puzzelstukje zijn er 36 oplossingen: er zijn 9 blokken in het rooster van 2 bij 2 groot, waar zo’n puzzelstukje telkens in 4 oriëntaties in past.
Met twee, drie of vier tromino’s is de telling een stuk lastiger omdat daar weinig structuur in te ontwaren valt. Er blijken 336 oplossingen met twee tromino’s, 948 oplossingen met drie, en 686 oplossingen met vier. Alles samen zijn er zo precies 1 + 36 + 336 + 948 + 686 + 16 = 2023 mogelijke opvullingen! Je vindt ze hieronder allemaal, in volle glorie.
