Inpakken met vijfhoeken
We kregen recent vanuit verschillende hoeken de vraag of we onze items ook als cadeautje willen inpakken. Een eeuwigheid geleden heb ik eens gezocht naar een inpakpapier met een leuke wetenschappelijke of wiskundige print, helaas zonder veel succes. Wel vond ik heel wat materiaal voor scrapbooking, maar dat papier is meestal te dik en te klein om als cadeaupapier te dienen. Ook is er altijd de optie om inpakpapier te laten bedrukken met een eigen patroontje, maar dat wordt natuurlijk een duur grapje in kleine oplage. We hebben het idee toen dan maar in de doos “zorgen voor later” geklasseerd. Wel, het werd blijkbaar tijd om die doos van onder het stof te halen!
Opnieuw gericht zoeken naar wetenschappelijke thema’s leverde niets op. Ik hoopte dan maar dat er tussen de rollen standaard cadeaupapier in de winkel ergens eentje te vinden moest zijn met een kleine knipoog, bijvoorbeeld een abstract patroontje met interessante driehoeken of cirkels. We overwogen in de tussentijd om eenvoudig bruin kraftpapier te gebruiken, opgefleurd met eigen stempels … tot mijn oog viel op een onschuldig ogende rol met de naam Rotalia Anaïs van producent Rotolux. Het papier is zwart met een metallic zigzagachtig patroon en ziet er heel luxueus uit (maar laat zich moeilijk fotograferen). Het was dat patroon dat mijn wiskundehart een slag deed overslaan. Er valt héél wat over te vertellen!
Toegegeven, heel duidelijk zijn de foto’s niet. Daarom staat hieronder nog een illustratie met het patroon duidelijk aangegeven in oranje. Als je aandachtig kijkt, zie je dat de omlijnde figuren allemaal vijfhoeken zijn, met dezelfde vorm en even groot, die precies aaneensluiten.
Algemene betegelingen
De vijfhoeken geven een voorbeeld van een betegeling of een tessellatie van het vlak: een bedekking met allemaal kopieën (eventueel gedraaid en gespiegeld) van een beperkte set kleine tegels. Tessellaties komen niet alleen overal voor doorheen de kunstgeschiedenis, van bijvoorbeeld mozaïeken en muurbetegelingen in de Islamitische architectuur tot de werken van M. C. Escher, maar kennen ook heel praktische toepassingen in bijvoorbeeld efficiënte machinale productie of zelfs ontwerp van nieuwe materialen. Ook in de natuur maken de bijen er dankbaar gebruik van bij het bouwen van honingraten. Het loont dus de moeite om betegelingen van nabij te bestuderen.
Enkele begrippen keren vaak terug als het over betegelingen gaat.
- De figuur of figuren waaruit een betegeling is opgebouwd, heten prototegels (Engels: prototiles).
- Een betegeling met slechts één prototegel heet een monohedrale betegeling.
- Een betegeling die zichzelf op den duur herhaalt in de horizontale en verticale richting heet een periodieke betegeling.
Het inpakpapier toont dus een periodieke monohedrale betegeling met een vijfhoek als prototegel. Eenvoudigere voorbeelden zijn een schaakbordpatroon van vierkanten, een baksteenpatroon van rechthoeken, een honingraatpatroon van zeshoeken …
Vierkanten en rechthoeken zijn eigenlijk niet zo bijzonder, want je kan élke vierhoek gebruiken om het vlak mee te betegelen. Het maakt niet uit hoe onregelmatig de vierhoek is. Er mag zelfs een “deuk” in zitten, een hoekpunt dat naar binnen wijst. Een veelhoek met zo’n hoekpunt wordt concaaf genoemd; een veelhoek zonder deuken heet convex. Hieronder zie je hoe zo’n algemene betegeling eruit kan zien.
Ook met willekeurige driehoeken is het makkelijk om het vlak op te vullen. Hogerop is het lastiger: Karl Reinhardt toonde in zijn proefschrift (1) aan dat er onder de convexe zeshoeken drie types betegelingen bestaan, drie families van zeshoeken die op een eigen manier het vlak opvullen. Elk type wordt gekenmerkt door zekere voorwaarden op de zijdelengtes en hoekgroottes. Een regelmatige zeshoek is zodanig symmetrisch dat die aan de voorwaarden van elk type voldoet, maar er zijn ook (convexe) zeshoeken die in geen van de drie thuishoren en die het vlak dan ook niet betegelen zonder gaten.
In datzelfde proefschrift bewees Reinhardt ook dat er geen monohedrale betegelingen kunnen bestaan met convexe zevenhoeken, achthoeken, of veelhoeken met nog meer hoekpunten. Een korte schets waarom: de hoekensom in een zevenhoek is 900° en één hoek bedraagt gemiddeld 900°/7. Rond één hoekpunt in een betegeling zitten dus gemiddeld 360°/(900°/7) = 2.8 zevenhoeken. Maar rond een hoekpunt moeten minstens 3 tegels zitten om van een hoekpunt te kunnen spreken, dus een gemiddelde kleiner dan 3 is onmogelijk. En dat gemiddelde zakt alleen maar verder onder 3 voor achthoeken, negenhoeken …
Betegelen met vijfhoeken
Resten nog de vijfhoeken. Dat onschuldig ogende probleem kent een verrassend rijke geschiedenis vol interessante personages en anekdotes. Een prachtige webcomic daarover is A brief history of pentagonal tilings van Sequential Math (2), maar we geven hier ook een overzicht.
Gelijkaardig als bij de zeshoeken vond Reinhardt vijf families van betegelende convexe vijfhoeken, elk met hun eigen typerende relaties tussen zijden en hoeken. In zijn bespreking wijdde hij veel aandacht aan de eerste types, maar na een zorgvuldig gevalsonderscheid besloot hij dat de andere gevallen zich volledig analoog lieten bestuderen en de kous daarmee af was.
[…] ist die praktische Durchführung einer derartigen Diskussion sehr mühsam, äußerst umfangreich und wenig befriedigend. Außerdem besteht eine gewisse Wahrscheinlichkeit, daß andere zu einer Ebenenzerlegung Anlaß gebende Fünfeckstypen dabei nicht mehr zutage treten.
De praktische uitvoering van zo’n discussie zeer langdradig, uiterst omvangrijk en weinig bevredigend. Daarnaast is er een zekere kans dat er geen andere types vijfhoeken aan het licht komen die aanleiding geven tot een betegeling van het vlak.
Karl Reinhardt, Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (1).
Helaas bleek Reinhardt hier nogal kort door de bocht gegaan. Richard Kershner (3) ontdekte 50 jaar later een aantal nieuwe families, wat het totale aantal op acht bracht. Ook Kershner beweerde dat de classificatie daarmee voltooid was maar noemde een volledig bewijs “extreem arbeidsintensief” en beperkte zich tot een gedeeltelijke analyse.
Enkele jaren later bereikten de vijfhoeken het grote publiek dankzij de populaire column Mathematical Games van Martin Gardner in het tijdschrift Scientific American. Gardner schreef er meer dan 20 jaar lang een maandelijkse column over recreatieve wiskunde, bijna 300 in totaal! In juli 1975 (4) ging het onder meer over de betegelingen van Reinhardt en Kershner. Een aantal lezers geraakten geïntrigueerd door het probleem en gingen op zoek naar nieuwe betegelende vijfhoeken. En met succes: software-ingenieur Richard James III ontdekte een negende familie in 1975, amateurwiskundige Marjorie Rice een tiende in 1976, en aangemoedigd door dat succes vond ze er nog drie in de daaropvolgende jaren. Rice gebruikte haar tessellaties als basis voor kunstige tekeningen (5) en is helaas overleden in 2017.
Rolf Stein vond in 1985 nog een nieuw type, maar dit keer eentje zonder vrijheidsgraden — een vijfhoek waar de nodige relaties tussen de hoekgroottes en zijdelengtes zo streng zijn, dat de vorm ervan volledig vastligt. En ook daarmee bleek het laatste woord nog niet gezegd! Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann en David Von Derau schreven een computerprogramma dat in 2015 nog een 15de type ontdekte, opnieuw een fragiele vijfhoek zonder enige bewegingsvrijheid in hoeken en zijdes.
In 2017 hoopte Michaël Rao de classificiatie voor eens en voor altijd af te beslechten. Ook hij stelde een computerprogramma op dat systematisch alle mogelijkheden zou kunnen nagaan en onderweg alle mogelijke families genereren. Wat bleek? Het algoritme herontdekte alle 15 gekende types van betegelende convexe vijfhoeken, maar vond geen nieuwe (6). Kleine kanttekening wel, computerbewijzen worden nog niet algemeen aanvaard binnen de wiskunde en de resultaten zijn nog steeds niet 100% geverifieerd, maar desalniettemin is er veel vertrouwen in de classificatie.
Hieronder staan de 15 types in volle glorie opgelijst. Types 1, 2, 3, 4 en 5 zijn die van Reinhardt, 6, 7 en 8 van Kershner, 9, 11, 12 en 13 van Rice, 10 van James, 14 van Stein en 15 van Mann–McLoud-Mann–Von Derau. Best opmerkelijk toch hoe zo’n onschuldige vraag — hoe kan het vlak worden betegeld met convexe vijfhoeken? — tot zo’n complexe classificatie leidt!
De opmerkzame lezer hield hopelijk het inpakpapier nog in gedachten en zocht ondertussen naar de corresponderende familie van vijfhoeken. Zie je ze staan in heel deze oplijsting? Jawel, het papier beeldt precies de uitzonderlijke vijfhoeken van type 15 af, die pas in 2015 geïdentificeerd werden! Dat kan gewoon geen toeval zijn. Zo’n mooie recreatieve wiskunde waar serieus onderzoek achter schuilt op nota bene een rol cadeaupapier zetten, het voelt haast zonde — ikzelf had het papier een cadeau op zichzelf genoemd, maar veel mensen zouden hun pakje openscheuren zonder ook maar even stil te staan bij het wonderlijke patroon op het papier.
Andere betegelingen
De vijftien tessellaties van convexe vijfhoeken zijn allemaal periodiek: zowel in horizontale als in verticale richting zit er herhaling in. Ook andere betegelingen zijn mogelijk, zoals het onderstaande prachtige patroon van Michael Hirschhorn (dat wel degelijk onbeperkt kan worden uitgebreid). De prototegel heeft vijf even lange zijden en vijf hoeken van achtereenvolgens 60°, 160°, 80°, 100° en 140°. Diezelfde vijfhoeken passen echter ook mooi samen tot een eenvoudigere periodieke betegeling van type 1.
Sterker nog: het computerbewijs van Rao zocht niet alleen naar periodieke betegelingen, maar vond desondanks enkel de vijftien opgelijste types. Met andere woorden, élke convexe vijfhoek die het vlak vult — hoe exotisch ook — vult het vlak ook op op een periodieke manier.
Als convexiteit geen vereiste is, dan zijn er nog buitenissige betegelingen. Zo is er een concave vijfhoek met zijdelengtes 1, 1, 1, 2, 3 en hoekgroottes 60°, 120°, 240°, 60°, 60°, bijgenaamd de sfinx. Deze deelt met vierkanten de eigenschap dat één sfinx kan worden opgedeeld in vier kleinere. Door dat steeds opnieuw te herhalen, valt daar ook een interessante betegeling van het vlak uit te halen. In tegenstelling tot de opdeling van vierkanten is deze niet periodiek. Maar opnieuw is er ook een eenvoudigere periodieke variant, door twee sfinxen samen te leggen tot een parallellogram.
- Karl Reinhardt, Über die Zerlegung der Ebene in Polygone. 1918. (↩) (↩)
- Amanda Garcia, Giuseppe Sellaroli (Sequential Math), A brief history of pentagonal tilings. 2018 (↩)
- Richard Kershner, On paving the plane. American Mathematical Monthly, vol. 75, no. 8, 1968, p. 839–844. (↩)
- Martin Gardner, Mathematical Games: on tessellating the plane with convex polygon tiles. Scientific American, vol. 233, no. 1, 1975, p. 112–119. (↩)
- Marjorie Rice, Intriguing tessellations. (↩)
- Michaël Rao, Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane. ArXiv, 2017. (↩)
