Vandaag een wiskundenieuwtje, heet van de naald! Als je onze blog een beetje volgt, heb je misschien al in de mot dat wij wel fan zijn van een mooie betegeling. Herinner je je bijvoorbeeld ons inpakpapier en het wiskundige verhaal erachter? Wel, betegelingen zijn niet alleen een speels meetkundig onderwerp met gevarieerde toepassingen, maar kennen ook nog steeds tal van mysteries. Een van de belangrijkste open vraagstukken is deze week gekraakt. Hetwelk, hoe en door wie, daar brengen we je in deze blogpost van op de hoogte.
In de aangehaalde blog kwamen enkele begrippen aan bod die ook hier relevant zijn. De belangrijkste is periodiciteit: we noemen een betegeling periodiek als die zichzelf op den duur herhaalt in de horizontale en verticale richting. Het bestaan van aperiodieke betegelingen, die dus niet herhalen, is al langer bekend. Sterker nog, een van de beroemdste betegelingen is zelfs aperiodiek: de Penrosebetegeling, die bestaat uit twee soorten ruitjes of in een andere vorm uit vliegers en pijltjes. Je ziet die in de figuur hieronder. Over die betegeling alleen vallen er boeken te schrijven, en we wijden er in de toekomst ongetwijfeld wel eens meer aandacht aan, maar voor nu volstaat het te weten dat die een aperiodieke betegeling is, opgebouwd met twee puzzelstukjes.
Om eerlijk te zijn, de figuur zoals ze hier staat is nog niet helemaal koosjer, want je kan met enkel en alleen de twee ruitvormige stukjes ook gewoon een periodieke betegeling maken. Je herkent met een beetje fantasie bijvoorbeeld een aantal kubusvormige 3D-aanzichten in de betegeling en die zou je gewoon kunnen samenleggen volgens een herhalend patroon. Maar wees gerust: met een beetje knip- en plakwerk kun je de ruitjes ook zó modificeren dat ze echt wel enkel in elkaar passen in een aperiodiek patroon.
De geschiedenis van aperiodieke betegelingen (met stukjes die énkel aperiodiek puzzelen) is opmerkelijk: de eerste gekende familie had meer dan 20.000 tegels, wat gauw werd verbeterd tot een kleine 100, dan tot een familie van 40, een familie van zes tegels, en in de jaren 70 ontdekte Penrose zijn beroemde betegelingen met slechts twee tegels. Dan is de natuurlijke vraag: kan het nog één stapje beter? Bestaat er een enkele figuur die het vlak betegelt, maar die elke vorm van herhaling uiteindelijk doorbreekt? Dit probleem staat gekend als het einsteinprobleem — een woordgrapje omdat “ein Stein” in het Duits gewoon “één tegel” betekent.
Deze week losten David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan en Chaim Goodman-Strauss (1) dat probleem voor eens en voor altijd op. Ja, het lukt ook met één enkele tegel! En hun constructie is bovendien verrassend elegant; het doet je afvragen hoe zo’n bescheiden tegel niet eerder werd ontdekt. Ze knutselden een puzzelstukje ineen vanuit een periodieke betegeling van regelmatige zeshoeken, die ze overlegden met een driehoekig rooster. In de resulterende betegeling herken je vliegervormige figuurtjes met hoeken van 60°, 90° en 120°. Door acht zo’n vliegers samen te plakken kun je een hoedvormige 13-hoek verkrijgen. In hun preprint tonen de auteurs aan dat die voldoet: het hoedje betegelt het vlak, maar niet periodiek. Het is aldus de eerst gekende echte “einstein”!
Oké, er is nog een subtiliteitje dat we hier onder de mat geveegd hebben. In 2011 ontdekten Joshua Socolar en Joan Taylor (2) namelijk al een soort van einsteintegel. Je ziet ‘m hieronder en het is meteen duidelijk waarom die van een ander kaliber is dan de nieuwe tegel: het “puzzelstukje” hangt niet aaneen. Met de nieuwe ontdekking weten we zeker dat het ook lukt met klassieke samenhangende tegels.
Edit: veel sneller dan verwacht is er een update in het einsteinverhaal.
- David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan, Chaim Goodman-Strauss, An aperiodic monotile. ArXiv:2303.10798. (↩)
- Joshua Socolar, Joan Taylor, An aperiodic hexagonal tile. Journal of Combinatorial Theory, A, vol. 118, no. 8, 2011, p. 2207–2231. (↩)
