Blog

“Oké, oké, ik zal een helm dragen, maar alleen als je er een cool design op maakt.” Na veel porren kwamen we tot het compromis dat een coole fietshelm misschien wel de moeite waard was om te dragen. En zo begon dit kleine avontuur om een einstein-fietshelm te maken, want ja, mijn lieve schat (en z’n hoofd vol coole ideeën) wil ik echt wel beschermen. Hij zou namelijk niet de eerste zijn die na een stomme valpartij in een bed op intensieve zorgen landt.

Hoe plak je stickers op een gebogen oppervlak?

Nu, stickers netjes op een gebogen oppervlak kleven kan alles van goed te doen tot absoluut onmogelijk zijn, afhankelijk van of dit oppervlak in één of twee richtingen buigt. Om dit verschil wiskundig te kwantificeren, spreken differentiaalmeetkundigen van de hoofdkrommingen en hun product de Gausskromming.

Er zijn heel wat definities van kromming in omloop, die elk in hun context passen en andere aspecten in de verf zetten. In deze blogpost houden we het op een intuïtieve benadering. Door elk punt van de kromme kunnen we zoeken naar de cirkel die daar de beste benadering geeft. Een grote cirkel betekent dat de kromme maar flauwtjes afbuigt, een kleine cirkel betekent een scherpe bocht. We stellen de kromming in dat punt dan gelijk aan \(1/r\), met \(r\) de straal van die best benaderende cirkel. Bij uitbreiding heeft een rechte lijn kromming 0. Merk op dat de kromming niks zegt over de ‘richting’ waarin gebogen wordt, maar enkel over de mate van buigen.

In drie dimensies komen er wat meer stappen aan te pas. Wanneer we naar een punt op een oppervlak willen kijken, kiezen we eerst een normaal — een vector (of georiënteerde lijn) loodrecht op dat oppervlak. Eigenlijk heeft de precieze definitie van “loodrecht op een oppervlak” ook wat voeten in de aarde, maar aangezien wij met onze voeten ook op een ronde aardbol rechtop kunnen staan, hebben we wel een intuïtie van wat het juist inhoudt om loodrecht op een krom oppervlak te staan.

Doorheen die normaal tekenen we alle vlakken (een vlakkenwaaier) en bekijken we de familie van doorsneden met het oppervlak. Elk vlak door de normaal zal een kromme bepalen doorheen ons gekozen punt, en van die kromme kunnen we via de benaderende cirkel een kromming berekenen. Daarnaast kunnen we die kromming ook een teken geven: positief als de kromme van de gekozen normaal weg buigt of negatief als die naar de normaal toe buigt. Doen we dat voor alle vlakken door de normaal, dan blijkt dat de grootste en de kleinste kromming net voorkomen in twee vlakken die loodrecht op elkaar staan. Die twee uiterste krommingen worden de hoofdkrommingen genoemd, vaak aangeduid als \(\kappa_1, \kappa_2\).

De figuur hieronder geeft een illustratie op een zadeloppervlak, dat je ongetwijfeld herkent uit de chips van het merk Pringles. De hoofdkrommingen hebben daar een tegengesteld teken: in welke richting je de normaal ook kiest, de ene kromme buigt ernaar toe en de andere ervan weg.

De twee hoofdkrommingen worden soms samengenomen tot een gemiddelde kromming \(\frac12(\kappa_1+\kappa_2)\), of tot de Gausskromming \(\kappa_1\cdot\kappa_2\), vernoemd naar Carl Friedrich Gauss. Die tweede maatstaf heeft doorheen de jaren wat meer populariteit verworven, omdat Gauss er een mooi resultaat over bewees dat hij zelf zijn “Theorema Egregium” doopte — letterlijk, de “opmerkelijke stelling”. Die stelt dat deze maat van kromming een invariant is: zolang je het oppervlak niet uitrekt, zal de Gausskromming niet wijzigen. Dat betekent in het bijzonder dat een vlak blad papier (met Gausskromming \(0\cdot 0=0\)) wel opgerold kan worden tot een cilinder (Gausskromming \(\kappa_1\cdot 0=0\)) maar niet in beide richtingen tegelijk kan buigen zoals bijvoorbeeld een bol (strikt positieve Gausskromming \(\frac{1}{r^2}\)) of een zadeloppervlak zoals hierboven (strikt negatieve Gausskromming).

Gausskromming mag dan wel je vriend zijn om de toppings niet van je pizza te doen glijden, in dit geval is het een vervelend gegeven. Wegens het Theorema Egregium kunnen we namelijk ons plat stickervel niet zonder uitrekken op een ruwweg bolvormig oppervlak plakken. Gelukkig bestaat de betegeling uit vele kleine stickers en is de werkelijke vorm van de helm iets minder gekromd dan een bol, dus lelijke plooien en kreuken waren in praktijk niet écht een probleem. Wat wel een uitdaging was, was de tegeltjes mooi laten aansluiten en niet over elkaar kleven.

Na een eerste poging met wat zelfklevend beschermpapier … besloot ik het van de heel andere kant aan te pakken. Wat als we ons baseren op de einsteinbetegeling op een bol? Niet zo lang geleden zagen we immers een filmpje passeren van een artisanale balmaker die een einsteinbal maakte en naar de ontdekker David Smith opstuurde.

Om zo’n einsteinbal te maken hebben we niet enkel einsteintegels maar ook enkele vijfhoeken nodig. Wie al eens goed naar een (standaard) voetbal gekeken heeft, is wellicht niet verrast dat hier vijfhoeken komen opduiken. Een standaard voetbal bestaat immers uit 20 zeshoeken en 12 vijfhoeken. Die vorm is ook wel gekend als de afgeknotte icosaëder of de kleinste “buckybal”.

Waarom heeft een voetbal vijfhoeken nodig?

Hoewel regelmatige zeshoeken alleen perfect het vlak vullen, is er geen regelmatig veelvlak of platonisch lichaam met enkel regelmatige zeshoeken. Opdat een regelmatig veelvlak met een zekere veelhoek kan gemaakt worden, moeten immers minstens drie vlakken samenkomen in één hoekpunt. Nu kan je wel drie zeshoeken aaneenleggen in één hoekpunt, maar gezien de som van de hoeken 3⋅120° = 360° is, liggen alle zeshoeken dan in hetzelfde vlak … Geen goed begin voor een convex veelvlak! Regelmatige veelvlakken bestaan dus enkel met drie-, vier- en vijfhoeken.

Wil je met regelmatige zeshoeken toch gesloten veelvlakken maken, dan kan je hier en daar een vijfhoek toevoegen. Dit kan met best wat vrijheid, maar toch hebben al deze veelvlakken iets met elkaar gemeen: er zijn steeds precies 12 vijfhoeken nodig die bovendien niet aan elkaar grenzen. Constructies die daaraan voldoen worden buckyballen of Buckminsterfullerenen genoemd.

Waarom er precies 12 vijfhoeken nodig zijn, volgt uit de veelvlaksformule van Euler. Die stelt dat voor elk convex veelvlak met \(V\) hoekpunten, \(E\) ribben en \(F\) vlakken geldt dat \(V-E+F=2\). In het geval van een veelvlak opgebouwd uit \(v\) vijfhoeken en \(z\) zeshoeken kunnen we afleiden dat:

• \(V= \frac{5v+6z}{3}\) gezien er steeds drie vlakken samenkomen in één punt,
• \(E=\frac{3V}{2}\) omdat elke ribbe net twee hoekpunten verbindt,
• \(F=v+z\).

Na wat herschrijven vereenvoudigt \(V-E+F=2\) precies tot \(v=12\), zodat er steeds precies 12 vijfhoeken nodig zijn.

Deze buckyballen worden al sinds de jaren 70 bestudeerd binnen zowel de grafentheorie als de organische chemie. Zo’n netwerk vol zeshoeken, waar elke top drie buren heeft, heeft namelijk heel wat eigenschappen die koolstofatomen ook verkiezen. En wat bleek, zo’n buckyballen konden ook echt in een labo uit koolstof gemaakt worden. Door grafiet via laserstralen of elektrische stroom te laten verdampen onder de juiste atmosfeer, ontstonden C₆₀– and C₇₀-clusters. Beide buckyballen bestaan volledig uit koolstofatomen (60 resp. 70 stuks) en hebben 12 vijfhoeken. Waar een C₆₀-cluster echter 20 zeshoeken heeft, heeft C₇₀ er 25.

Concrete toepassingen zijn er op vandaag nog niet, maar de bijzondere eigenschappen van deze koolstofbolletjes tonen in elk geval potentieel. Ze delen een deel van hun eigenschappen met de gekendere carbon nanotubes en bovendien zijn er mogelijkheden om allerhande andere atomen toe te voegen aan (of zelfs in!) zo’n buckybal. Wie weet komen er in de toekomst bijvoorbeeld zonnepanelen die gebruikmaken van de bijzondere lichtabsorberende structuur.

Hoe maak je een einsteinbal?

In onze eerste blogpost over de einsteintegel zag je al dat deze vorm uit een opdeling van een zeshoekig rooster ontstaan is. Toch is het helemaal niet voor de hand liggend dat de betegeling ook op een bolvormige structuur kan werken; een willekeurig fullereen maken met einsteintegels in plaats van zeshoeken zal niet zomaar lukken. Op een buckybal met 12 vijfhoeken en 80 zeshoeken (overeenkomend met C₁₈₀-fullereen) werkt het wél!

Gezien de fietshelm noch sferisch noch vlak was, probeerde ik een tussenvorm te maken, met hier en daar een vijf- of zeshoekig gat. Met een zeshoekig gat kun je immers een regelmatige betegeling maken in het vlak, die erg lijkt op de balconstructie die we hierboven zagen.

Uiteindelijk bleek de fietshelm tegelijkertijd te rond en niet rond genoeg … dus besloten we het betegelen van de hele fietshelm op te geven. Door enkel de twee zijkanten te bestickeren, waar de kromming haast uitsluitend in één richting bestond (en de Gausskromming dus bijna nul was), werd de opgave in één klap stukken eenvoudiger. Na het maken van een laatste teststukje en het reconstrueren van het spiegelbeeld ervan aan de andere kant, was het tijd om de snijplotter even aan het werk te zetten met wat reflecterend vinyl.

Nog een gezonde dosis geduld en prutsen later, was de wiskundige fietshelm een ding! Hij schittert alvast in het donker, en is ook goedgekeurd door onze teddybeer Froberius.