Het verhaal achter: de Pythagoraskalender (1)

In deze blogpost brengen we je het verhaal achter de Pythagoraskalender. Het idee ontstond toen Sara in het lesmateriaal wiskunde van de vorige leerkracht een opmerking las, stellend dat er zo’n 370 bewijzen voor de stelling van Pythagoras gekend zijn. Sara grapte dat je er een scheurkalender mee zou kunnen maken met elke dag een nieuw bewijs. Laat dat nu net het soort grapjes zijn die ik iets serieuzer opvat dan bedoeld! Wat opzoekwerk leidde snel tot het boek The Pythagorean Proposition1 van Elisha Loomis, dat naast wat geschiedenis en extra info inderdaad ook 370 bewijzen bundelt. Het ideale uitgangspunt, zou je denken.

Helaas is het boek van Loomis nogal … aan de eentonige kant. Heel wat families bewijzen zijn inderdaad strikt genomen verschillend, maar steunen wel op precies dezelfde technieken en zelfs precies dezelfde diagrammen. Deze collectie zou dus maar een saaie scheurkalender opleveren: de zeldzamere pareltjes zouden teloorgaan in een eenheidsworst van gelijkaardige bewijzen.

Ook beweert Loomis dat er geen bewijzen mogelijk zijn die steunen op lineaire algebra of analyse, omdat die de grondslagen van de meetkunde — en dus in het bijzonder ook de stelling van Pythagoras — als gegeven beschouwen. Da’s niet helemaal correct: calculus in één veranderlijke kan volledig rigoureus opgebouwd worden zonder te steunen op de stelling van Pythagoras, en Mike Staring2 gaf bijvoorbeeld een analytisch bewijs via een differentiaalvergelijking. Ook zijn er argumenten die gebruikmaken van lineaire algebra, weliswaar onder de caveat dat begrippen als de determinant lichtjes anders ingevoerd moeten worden om cirkelredeneringen te vermijden. Terence Tao3 geeft een voorbeeld. Ook al zijn er subtiliteiten, er is in ieder geval meer mogelijk dan Loomis beweerde.

Ik kon het idee niet loslaten en begon zelf bewijzen te verzamelen. Het werd duidelijk dat een volwaardige scheurkalender met ± 365 bewijzen nog steeds te weinig spannend zou zijn, maar dat er meer dan genoeg materiaal bestond voor een interessante weekkalender met ± 52 bewijzen. Daarnaast legde ook de fysieke vormgeving een restrictie, want een bewijs van drie bladzijden lang, hoe bijzonder ook, is niet geschikt voor zo’n kalender. De opgave was dus om bewijzen te zoeken die enerzijds gevarieerd en origineel genoeg zijn om elke week een verrassing te kunnen noemen, maar anderzijds ook bondig genoeg verwoord kunnen worden om binnen een half A4’tje te passen.

Uiteindelijk groeide de collectie aan tot een mooie selectie van 53 bewijzen, in allerlei vormen en maten. Heel wat meetkundige bewijzen werken door in een goedgekozen constructie gelijkvormigheid aan te wenden of een bepaalde oppervlakte op twee manieren te berekenen. Bij een aantal wordt dat ingekleed in een jasje van goniometrie, lineaire algebra, analytische meetkunde of differentiaalvergelijkingen. De mooiste bewijzen hoeven echter niet zo vergezocht te zijn — mijn persoonlijke favoriet is misschien wel een van de kortste in heel de bundel! Laat me die hier even toelichten.

Beschouw een rechthoekige driehoek met zijdelengtes a, b en c. Construeer drie herschaalde kopieën van die driehoek: eentje met schaalfactor a, eentje met factor b en eentje met factor c. Dan passen de drie precies samen in een rechthoek zoals hieronder, waarvan de bovenzijde a2 + b2 en de onderzijde c2 meet. Quod erat demonstrandum!

Een elegant bewijs met drie herschaalde driehoeken.

De eerste versie van de bundel typesette ik ineens in LaTeX in het Engels. Sindsdien heeft de kalender vele iteraties meegemaakt, zowel in digitale vorm als fysiek. Bij de vertaling naar het Nederlands kwam meer kijken dan verwacht — wist je bijvoorbeeld dat de ingeburgerde Nederlandse notatie voor algemene hoeken of het symbool voor een rechte hoek, afwijkt van de internationale notatie? Ook werd er, eenmaal een geschikte papiersoort gevonden, veel geëxperimenteerd met een kleurenschema. Over de concrete realisatie volgt binnenkort een tweede blogpost.

  1. Elisha Scott Loomis, The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics, Washington, DC, 1968. []
  2. Mike Staring, The Pythagorean Proposition: A Proof by Means of Calculus. Mathematics Magazine, vol. 69, no. 1, p. 45–46, 1996. []
  3. Terence Tao, Pythagoras’ Theorem. Blog, 2007. []

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *